Normal (Çan Eğrisi) Dağılımı

Veri Kümeleri (100 kişinin yüksekliği, bir sınıfın 45 öğrencisi tarafından elde edilen izler vs.) aynı veri noktasında birçok değerli eğilim gösterir veya aynı aralıkta. Veri noktalarının bu dağılımına normal veya çan eğrisi dağılımı denir. Örneğin, 100 kişilik bir grupta, 10'u 5 fitin altında, 65'i 5 ila 5 arasında ve 25'i 5,5 fitin üzerinde olabilir. Bu aralık sınır dağılımı şu şekilde çizilebilir:

Benzer şekilde, herhangi bir veri kümesi için grafikler halinde çizilen veri noktaları, farklı dağılım türlerine benzeyebilir. En yaygın üç tanesi sola hizalı, doğru hizalı ve karışık dağılımlardır:

Bu grafiklerdeki kırmızı eğilim çizgisine dikkat edin. Bu, kabaca veri dağıtım trendini belirtir. Birincisi, "LEFT Aligned Distribution", veri noktalarının çoğunun daha düşük aralıkta olduğunu gösterir. İkinci "HAKSIZ Hizalanmış Dağıtım" grafiğinde, veri noktalarının çoğunluğu aralığın üst ucuna düşerken, son "Karışık Dağıtım" karışık bir veri setini net bir eğilim göstermeden temsil ediyor.

Veri noktalarının dağılımının merkezi bir değere sahip olduğu ve bu grafik mükemmel bir normal dağılıma sahip olduğu, her iki tarafta da en çok sayıda veri noktası ile dengelenmiş olduğu birçok durum söz konusudur merkezde yoğunlaştı.

Burada mükemmel, normal olarak dağıtılan bir veri kümesi bulunmaktadır.

Burada merkezi değer en fazla veri noktasına sahip olan 50'dir ve dağıtım noktası, en az sayıda veri noktasına sahip olan 0 ve 100 uç uç değerlerine eşit olarak kapatır. Normal dağılım merkezi değer etrafında simetrik olup, her iki yandaki değerlerin yarısı kadardır.

Bir çok gerçek hayat örneği çan eğrisi dağılımına uyuyor:

• Bir çok kez adil para harcayın (100 kez veya daha fazla deyin) ve başların ve kuyrukların dengeli normal dağılımını elde edersiniz.
• Bir çift adil zar atın birçok kez (örneğin 100 kez veya daha fazla) rulo yapın ve sonuç, 7 sayısının etrafında ortalanan dengeli, normal dağılım olur ve 2 ve 12'nin aşırı uç değerlerine eşit olarak daralır.
• bir sınıftaki insanlar tarafından elde edilen önemli boyut ve izlerden oluşan bir gruptaki bireylerin yüksekliği hem normal dağılım modellerini takip eder.
• Finans, Forex kurlarının, fiyat endekslerinin ve hisse senedi fiyatlarınıngünlük değerlerindeki değişiklikler normal olarak dağıtıldığı varsayıldı.

Finans ve Yatırım İlişkisi

Herhangi bir yatırımın iki yönü vardır: risk ve getiri. Yatırımcılar, mümkün olan en düşük geri dönüş riski için en düşük olasılığı ararlar. Normal dağılım, bu iki yönü, geri dönüşler için ortalama ve risk için standart sapma ile nicelendirir. Ortalama veya

Beklenen Değer Belirli bir piyasa fiyatındaki ortalama değişim, günlük bazda% 1. 5 olabilir (Daha fazla bilgi için bkz. Ortalama Varyans Analizi

- Yani ortalama% 1 5 artar. Geri dönüşü ifade eden bu ortalama değer veya beklenen değere, o stokun tarihsel günlük fiyat değişikliklerini içeren yeterince büyük bir veri kümesindeki ortalamayı hesaplayarak ulaşılabilir. Ortalama ne kadar yüksek, o kadar iyi.

Standart Sapma

Standart sapma, değerlerin ortalamadan sapma miktarını belirtir. Standart sapma ne kadar yüksekse, yatırım daha risklidir, çünkü daha belirsizlik doğurmaktadır.

Aşağıdakilerin grafiksel bir sunumu:

Dolayısıyla, normal dağılımın ortalama ve standart sapması ile grafik gösterimi, hem getirilerin hem de riskin açıkça tanımlanmış bir aralıkta gösterilmesini sağlar.

Bazı veri seti normal dağılım modelini takip ediyorsa, ortalamasının bize hangi dönüşlerin olacağını bilmemizi sağlayacağını ve standart sapması bilmek için yaklaşık% 68 oranında bilgi sahibi olmamızı sağlar (ve kesin olarak güvence altına alınır) yardımcı olur değerler 1 standart sapma içinde, 2 standart sapma içinde% 95, değerlerin% 99'u 3 standart sapma içinde olacaktır. Ortalama 1,5 ve standart sapma 1 olan bir veri kümesi, 1,5 ve 0 standart sapmasına sahip başka bir veri kümesine göre daha risklidir. 1. 999 Seçilen her varlık için bu değerleri bilmek (yani hisse senedi, tahvil ve tahvil) fonlar) bir yatırımcıyı beklenen getiri ve risklerden haberdar edecektir.

Bu konsepti uygulamak kolaydır ve tek bir hisse senedi, tahvil veya fon üzerindeki risk ve getiriyi temsil eder, ancak bu çoklu varlık portföyüne genişletilebilir mi?

Bireyler, tek bir hisse senedi veya tahvil satın alarak veya yatırım fonuna yatırım yaparak ticarete başlarlar. Yavaş yavaş, varlıklarını artırma eğilimi gösterirler ve birden fazla hisse senedi, fon veya diğer varlıkları satın alarak portföy oluştururlar. Bu artım senaryosunda, bireyler, portföylerini bir strateji veya çok önceden düşünmeksizin kurarlar. Profesyonel fon yöneticileri, tüccarlar ve pazardaki yapıcılar, "normal dağıtım" kavramı üzerine kurulmuş modern portföy teorisi (MPT) adı verilen matematiksel bir yaklaşımı kullanarak portföylerini oluşturmak için sistematik bir yöntem izlemektedir. "

Modern Portföy Teorisi

Modern portföy teorisi, çeşitli varlıkların oranlarını seçerek belirli bir portföy riski miktarı için bir portföyün beklenen getirisini maksimize etmeyi amaçlayan sistematik bir matematiksel yaklaşım sunmaktadır. Alternatif olarak, belirli bir beklenen getiri seviyesi için riski en aza indirmeyi de önerir.

Bu amaca ulaşmak için, portföye dahil edilecek varlıkların sadece kendi mülkiyetlerine dayalı olarak değil, her varlık portföydeki diğer varlıklara nazaran nasıl performans göstereceği üzerine seçilmemelidir.

Kısacası, MPT mümkün olan en iyi sonuçlar için portföy çeşitlendirmeyi en iyi nasıl başaracağınızı belirler: kabul edilebilir bir risk seviyesi için azami getiri veya istenen getiri seviyesi için minimum risk.

Yapı Taşları

MPT, mucitlerinin bir Noble Ödülü kazandığı tanıtıldığında böylesine devrimci bir kavramdı. Bu teori, yatırımda çeşitliliğe rehberlik etmek için başarıyla matematiksel bir formül sağladı.

Çeşitlendirme, ilişkili olmayan hisse senetleri, sektörler veya varlık sınıflarına yatırım yaparak "tüm yumurtaları bir sepet içinde" riskini kaldıran bir risk yönetimi tekniğidir. İdeal olarak, bir varlığın portföydeki olumlu performansı diğer varlıkların olumsuz performansını iptal edecektir.

n farklı varlıklara sahip portföyün ortalama getirisini elde etmek için kurucu varlıkların getirilerinin oran ağırlıklı kombinasyonu hesaplanır. İstatistiksel hesaplamaların ve normal dağılımın doğası gereği, toplam portföy getirisi (R p _{) şu şekilde hesaplanır:} w

i _{toplamının (Σ) orantılı ağırlık portföydeki i varlığı, R} i _{, varlığın i'nin getirisidir (ortalama).} Portföy riski (veya standart sapma), varlık varlıklarının tüm varlık çiftleri için (birbirlerine göre) korelasyonlarının bir fonksiyonudur. İstatistiksel hesaplamaların ve normal dağılımın doğası gereği, toplam portföy riski (Std-dev)

p _{şu şekilde hesaplanır:} Burada cor-cof i ve j varlıklarının getirileri arasındaki korelasyon katsayısıdır, ve sqrt karekökü temsil eder.

Bu, her varlığın diğerine göre göreceli performansıyla ilgilenir.

Matematiksel olarak karmaşık görünmesine rağmen, burada uygulanan basit kavram, sadece münferit varlıkların standart sapmalarını değil, aynı zamanda birbirlerine göre ilgili sapmaları da içermektedir.

Burada, Washington Üniversitesi'nden iyi bir örnek bulabilirsiniz.

Hızlı Bir Örnek

Düşünce deneyi olarak, sermaye verildi ve iki mevcut varlığa (A ve B) ne kadar sermayenin tahsis edilmesi gerektiğini görevlendirilmiş bir portföy yöneticisi olduğumuzu düşünelim, bu yüzden beklenen dönüş azami ve risk en düşüktür.

Ayrıca şu değerlerimiz mevcuttur:

R

a _{= 0. 175} R

b _{= 0 055} (Std-dev)

= 0.259 _(Std-dev) ab

= -0. _(Cor-cof) ab

= -0. 164 _R p

, her varlık A ve B'ye eşit 50-50 tahsisat ile başlayarak 0'ı hesaplar. 115 ve (Std-dev) _p , 0'a gelir. 1323 Basit bir karşılaştırma bize, bu 2 varlık portföyü için, geri dönüşün yanı sıra risk, her bir varlığın bireysel değerleri arasında ortadadır.

Bununla birlikte, amacımız, portföyün tek tek varlıkların ortalamasının ötesinde iyileştirilmesi ve riskin, bireysel varlıklarınkinden daha düşük olmasını sağlamaktır. _{Şimdi, varlık A'da ve -0'da 1. 5 sermaye tahsis pozisyonu edelim. 5 varlık B'deki sermaye tahsis pozisyonu (Negatif sermaye tahsisi, diğer varlıkların fazlalıklarını olumlu sermaye tahsis etmek için kullanılan hisse senedi ve sermayeyi kısaltmak anlamına gelir. Başka bir deyişle, 0 nolu hisse senedini kısa tutuyoruz.5 kat sermaye ve bu parayı, 1. 5 sermaye miktarı için A hisse senedi satın almak için kullanıyor.)} Bu değerleri kullanarak, R _p değerini 0 olarak alıyoruz. 1604 ve (Std-dev) < p

as 0. 4005.

Benzer şekilde, A ve B varlıklarına farklı tahsis ağırlıkları kullanmaya devam edebilir ve farklı Rp ve (Std-dev) p setlerine ulaşabiliriz. İstenilen getiriye (Rp) göre, en iyi kabul edilebilir risk seviyesini (std-dev) seçebilirsiniz p. Alternatif olarak, arzu edilen bir risk seviyesi için, mevcut en iyi portföy getirisini seçebilirsiniz. Her iki durumda da, Portföy Teorisi'nin bu matematiksel modeli aracılığıyla, istenen risk ve getiri kombinasyonuyla etkin bir portföy yaratma amacına ulaşmak mümkündür.

Otomatikleştirilmiş araçların kullanılması, uzun manuel hesaplamalara gerek kalmaksızın mümkün olan en iyi tahsis edilen oranları kolayca ve sorunsuz bir şekilde kolaylıkla tespit etmeyi mümkün kılar. _{MPT'yi kullanarak etkin sınır, Sermaye Varlık Fiyatlandırma Modeli (CAPM) ve varlık fiyatlaması aynı normal dağılım modelinden gelişir ve MPT'nin bir uzantısıdır.} MPT'nin (ve temelde Normal dağılımın) zorlukları: _{Ne yazık ki hiçbir matematiksel model mükemmel değildir ve her biri yetersizlik ve sınırlamalara sahiptir.} Hisse senedi getirilerinin normal dağılımı izlediği temel varsayımına defalarca sorulmaktadır. Değerlerin varsayılan normal dağılıma uymamak için yeterli ampirik deney delili vardır. Bu tür varsayımlarda karmaşık modellerin temel alınması, büyük sapmalara neden olabilir.

MPT'ye ilerledikçe, korelasyon katsayısı ve kovaryans ile ilgili hesaplamalar ve varsayımlar (tarihsel verilere dayanılarak) sabit kalabilir ve gelecekteki beklenen değerler için geçerli olmayabilir. Örneğin, tahvil ve borsalar, 2001-2004 döneminde Birleşik Krallık pazarında, her iki varlığın getirilerinin eşzamanlı olarak düştüğü kusursuz korelasyon gösterdi. Gerçekte, ters 2001'den önceki uzun tarihsel dönemlerde gözlemlenmiştir.

Bu matematiksel modelde yatırımcı davranışları dikkate alınmamaktadır. Kesirli sermaye tahsisi ve varlıkların kısaltılması olasılığı varsayılsa da, vergiler ve işlem maliyetleri ihmal edilmektedir.

Gerçekte, bu varsayımlardan hiçbiri geçerli olmayabilir; bu, gerçekleştirilen finansal getirilerin beklenen kârlardan önemli ölçüde farklılaşabileceği anlamına gelir.

Alt satır:

Matematiksel modeller, bazı değişkenleri tek ve izlenebilir sayılarıyla ölçmek için iyi bir mekanizma sağlar. Fakat varsayımların sınırlamaları nedeniyle modeller başarısız olabilir. Portföy Teorisinin temelini oluşturan Normal Dağıtım, hisse senetleri ve diğer finansal varlık fiyat modelleri için geçerli olmayabilir. Portföy Teorisinin kendisi, önemli finansal kararlar vermeden önce eleştirel olarak incelenecek birtakım varsayımlara sahiptir.