Günümüze kadar, ticaret özellikli varlıkların doğru fiyatlandırılmasına katılmak oldukça zor. Bu nedenle hisse senedi fiyatları sürekli değişiyor. Gerçekte şirket, değerlemesini günlük bazda pek değiştirmiyor, ancak hisse senedi fiyatı ve değerlemesi her saniyede değişiyor. Bu, arbitraj imkânlarına yol açan herhangi bir ticaret özellikli varlık için bugünkü fiyat hakkında bir uzlaşmaya ulaşmanın zor olduğunu göstermektedir. Bununla birlikte, bu arbitraj imkânları gerçekten kısa sürelidir.

Her şey gün değerlemesini sunmak için kaynar - bugün beklenen gelecekteki kazanç için doğru geçerli fiyat nedir?

Rekabetçi bir pazarda, arbitraj fırsatlarından kaçınmak için, aynı ödeme yapılarına sahip varlıkların aynı fiyatta olması gerekir. Seçeneklerin değerlemesi zor bir görev olmuştur ve arbitraj fırsatlarına yol açan fiyatlamadaki yüksek çeşitlilik gözlemlenmektedir. Black-Scholes, fiyatlandırma seçenekleri için kullanılan en popüler modellerden biri olarak kalmaya devam ediyor, ancak kendi sınırlamaları var. (Daha fazla bilgi için, bkz. Seçenek Fiyatlama ). Binom seçeneği fiyatlandırma modeli fiyatlandırma seçenekleri için kullanılan diğer popüler bir yöntemdir. Bu makale birkaç kapsamlı adım adım örnekleri ve bu modelin uygulanmasında altta yatan risk açısından tarafsız kavramı açıklamaktadır. (İlgili okumaya bakınız: Binom Modelinin Bir Seçeneğe Breaklanması).

Bu makale, kullanıcının seçeneklerine ve ilgili kavram ve terimlere aşinalık ettiğini varsaymaktadır.

Şu an piyasa fiyatı 100 $ olan belirli bir hisse senedinde bir çağrı seçeneği olduğunu varsayınız. ATM seçeneğinin fiyatının 100 doları, bir yılın dolması için zamanı var. İki tüccar olan Peter ve Paul, hisse senedi fiyatlarının bir yıl içinde 110 $ veya 90 $ 'a yükselebileceğini kabul ediyorlar. Her ikisi de bir yılın belli bir zaman diliminde beklenen fiyat seviyelerini kabul ederken, yukarı hareketin olasılığına katılmıyorlar (ve aşağı doğru hareket ediyorlar). Peter, hisse senet fiyatının 110 $ 'a çıkma ihtimalinin% 60 olduğunu düşünürken, Paul bunun% 40 olduğuna inanıyor.

Yukarıdakilere dayanarak, kim çağrı seçeneği için daha fazla fiyat ödemek ister?

Muhtemelen Peter, yukarı hareket olasılığının yüksek olduğunu düşünüyor.

Bunu doğrulamak ve anlamak için hesaplamaları görelim. Değerlemenin dayandığı iki varlık, çağrı seçeneği ve altta yatan hisse senedidür. Katılımcılar arasında, temel alınan hisse senedi fiyatının bir yıl içinde 100 $ dan 110 $ ya da 90 $ 'a geçebileceği konusunda bir anlaşma var ve başka fiyat hareketleri mümkün değil.

Arzavantajsız bir dünyada, bu iki varlıktan (arama opsiyonu ve altta yatan hisse senedi) oluşan bir portföy oluşturmamız gerekiyorsa, temel fiyatın nereden (110 $ veya 90 $) gitsem de, portföy üzerindeki net getiri her zaman aynı kalmak.Bu portföyü oluşturmak için temel ve kısa bir arama seçeneğinin 'd' hisselerini satın aldığımızı varsayalım.

Fiyat 110 dolara çıkarsa, paylarımız 110 dolar * d tutarında olacak ve kısa görüşme ücreti üzerinden 10 dolar kaybedeceğiz. Portföyümüzün net değeri (110d - 10) olacaktır.

Fiyat 90 dolara inerse, hisselerimiz 90 Dolar değerinde olacak ve seçenek değersizleşecek. Portföyümüzün net değeri (90d) olacaktır.

Portföyümüzün değerinin, temel alınan hisse senedi fiyatının nereye gittiğine bakılmaksızın aynı kalmasını istiyorsak, portföy değerimiz her iki durumda da aynı kalmalıdır; e. :

=> (110d - 10) = 90d

=> d = ½

i. e. (kısmi alımların mümkün olduğunu varsayarsak) yarım pay alırsak, değerinin, bir yılın belirli bir zaman çerçevesinde her iki muhtemel durumda da aynı kalacağı bir portföy oluşturmayı başaracağız. (1 puan)

(90d) veya (110d -10) = 45 olarak belirtilen bu portföy değeri, bir yıl gerilemedi. Mevcut değerini hesaplamak için, risksiz serbest karlılık oranı ile indirgenebilir (% 5 varsayılarak).

=> 90d * exp (-5% * 1 yıl) = 45 * 0.9523 = 42. 85 => Portföyün bugünkü değeri

Portföy, şu andan itibaren hisse senetlerinin ½ payından oluşmaktadır ( piyasa fiyatı 100 Dolar ile) ve 1 kısa görüşme, yukarıda hesaplanan bugünkü değere eşit olmalıdır. e.

=> 1/2 * 100 - 1 * çağrı fiyatı = 42. 85

=> Çağrı ücreti = 7 $. 14 i. e. bugünkü çağrı fiyatı.

Bu, yukarıdaki varsayıma dayanarak, portföy değerinin temel fiyatın hangi yönden gittiğine bakılmaksızın aynı kaldığı varsayımına dayanmaktadır (yukarıdaki 1inci nokta), burada yukarı hareket veya aşağı hareket olasılığı burada hiçbir rol oynamaz. Portföy, altta yatan fiyat hareketlerinden bağımsız olarak risksiz kalır.

Her iki durumda da (110 $ 'a hareket ve 90 $' a düştüğü varsayılarak) portföyümüz riske karşı tarafsız ve risksiz getiri kazanıyor.

Dolayısıyla, hem tüccarlar olan Peter ve Paul, aynı 7 TL'yi ödemeye hazır olacaklar. (% 60 ve% 40) kendi farklı algıları ne olursa olsun, bu çağrı seçeneği için 14. Tek tek algılanan olasılıklar, yukarıdaki örnekte görüldüğü gibi, seçenek değerlemede herhangi bir rol oynamaz.

Eğer bireysel olasılıkların önemli olduğunu varsayarsak, arbitraj imkânları olurdu. Gerçek dünyada, bu tür arbitraj fırsatları küçük fiyat farklılıklarıyla var olup kısa vadede ortadan kalkmaktadır.

Ancak, seçenek fiyatlandırmasını etkileyen önemli (ve en hassas) faktör olan tüm bu hesaplamalardaki aşırı oynaklık nerede?

Oynaklık, problem tanımının doğası gereği dahildir. Unutmayın, iki (ve yalnızca iki - ve dolayısıyla "binom" adı) fiyat seviyeleri devleti varsayarız (110 $ ve 90 $). Bu varsayımda oynaklık önemlidir ve dolayısıyla otomatik olarak dahil edilir - her iki durumda da% 10'dur (bu örnekte).

Şimdi yaklaşımımızın yaygın olarak kullanılan Black-Scholes fiyatlandırması ile doğru ve tutarlı olup olmadığını görmek için aklı kontrol edelim. (Bakınız: Black-Scholes Opsiyon Değerleme Modeli ).

Hesaplanan değer ile yakından eşleşen seçenek hesaplama sonuçlarının ekran görüntüleri (İKT izniyle).

Maalesef, gerçek dünya "yalnızca iki devlet" kadar basit değildir. Sona erene kadar stok tarafından başarılabilir çeşitli fiyat seviyeleri vardır.

Binom fiyatlandırma modelinde sadece iki seviye ile sınırlandırılmış olan bu çok katlı seviyelerin hepsini dahil etmek mümkün müdür? Evet, çok mümkündür ve anlamak için bazı basit matematiğe geçelim.

Özetlemek ve sonuç odaklanmak tutmak için bazı orta hesaplama adımları atlanır.

Daha da ileri gidelim, bu sorunu ve çözümü genelleştirelim:

'X' stokta mevcut piyasa fiyatı ve 'X * u' ve 'X * d' yukarı ve aşağı hareketlerin gelecekteki fiyatlarıdır ' yıllar sonra. Hareket ettiğini ve 'd' nin 0 ile 1 arasında olacağı için, 'u' faktörü 1'den büyük olacak. Yukarıdaki örnek için, u = 1. 1 ve d = 0'dır. 9.

Çağrı opsiyonu kazancı, vade bitiminde yukarı ve aşağı hareketler için 'P ' ve 'P _dn ''dir.

Günümüzde satın alınan hisse senedi portföyünü inşa edersek ve bir kısa arama opsiyonu seçersek, t zamandan sonra:

Yukarı hareket durumunda portföy değeri = X * u - P _yukarı

Aşağı hareket durumunda portföyün değeri: Her iki fiyat hareketinde de benzer değerleme için _{=> s * X * u - P}

- - - - - -> 999 = )) = Hayır. Risksiz portföy için satın alınacak hisse senedi sayısı _{'t' yıl sonundaki portföyün gelecek değeri olacak> Yukarı hareket durumunda = s * X * u - P} yukarı _{= (P}

yukarı _{- P} dn _{) / (X (ud)) * X * u - P} yukarı

Yukarıdaki günümüz değeri, risksiz getiri oranı ile:

Bu, X fiyatındaki 's' hisselerinin portföyünü ve kısa çağrı değerini 'c' i eşleştirmelidir. e. Günümüzün (s * X - c) tutumu, yukarıda eşit olmalıdır. C için çözmek nihayet c'ye şu değeri verir: _{ÇAĞRI PREMIUMU KISA EDERSENİZ, PORTFÖY'E ALINMAMIŞTADIR.} Yukarıdaki denklemi yazmanın bir başka yolu da şu şekilde yeniden düzenleyerek: _q'yu olarak algılarsak, yukarıdaki denklem olur> "denklemin" q "olarak yeniden düzenlenmesi yeni bir bakış açısı önerdi. _{"q", alttaki ("q", P} yukarı _{ile ilişkilendirilir ve "1-q" ile P}

dn ile ilişkilendirildiği için, yukarıdaki hareketin olasılığı olarak yorumlanabilir

). Genel olarak, yukarıdaki denklem günümüzdeki opsiyon fiyatını temsil eder i. e. Sona erdiğinde kazancın indirimli değeri.

Bu olasılık "q", alttaki hareketin veya alt hareket olasılığından nasıl farklı?

t zamandaki hisse senedi fiyatının değeri q * X * u + (1-q) * X * d

q değerinin değiştirilmesi ve yeniden düzenlenmesiyle, t zamanındaki hisse senedi fiyatı

i . e. İki devletin bu varsayılan dünyasında, hisse senedi fiyatı basitçe risksiz bir getiri oranı ile artar; e. tam olarak risksiz bir varlığa benzer ve dolayısıyla herhangi bir riskten bağımsız olarak kalır.Tüm yatırımcılar bu modelde riske kayıtsızdır ve bu riske karşı tarafsız bir modeldir.

Olasılık "q" ve "(1-q)" riskli nötr olasılıklar olarak bilinir ve değerleme yöntemi riskli tarafsız değerleme modeli olarak bilinir.

Yukarıdaki örnekte önemli bir şart bulunmaktadır - ileride yapılacak ödeme yapısı hassasiyetle (seviyesi 110 $ ve 90 $) zorunludur. Gerçek hayatta, basamak tabanlı fiyat seviyeleri hakkında netlik mümkün değildir; Bunun yerine fiyat rasgele hareket eder ve birden fazla seviyeye yerleşebilir. _{Örneği daha da genişletelim. İki aşamalı fiyat seviyelerinin mümkün olduğunu varsayalım. İkinci aşamadaki nihai kazançları biliyoruz ve bugünkü seçeneği değerlendirmeliyiz (yani ilk aşamada)} Geriye doğru çalışırken, orta birinci kademe değerlemesi (t = 1'de) ikinci aşamadaki nihai ödemeleri kullanarak yapılabilir (t = 2) ve daha sonra bu hesaplanan ilk adım değerleme (t = 1) kullanılarak günümüz değerlemesi (t = 0) yukarıdaki hesaplamalar kullanılarak ulaşılabilir. _{Opsiyon fiyatlandırması almak için. 2, 4 ve 5 ödemeleri kullanılır. Hayır için fiyat almak için. 3, 5 ve 6'daki kazançlar kullanılmıştır. Sonunda, 2 ve 3'te hesaplanan kazançlar, fiyatlamayı hayır olarak almak için kullanılır. 1.} Lütfen, örneğimizin yukarıdaki (ve aşağı) hareket için her iki adımda da aynı faktörü varsaytığına dikkat ediniz - u (ve d) karışık şekilde uygulanır.

Hesaplamaları içeren bir çalışma örneği aşağıda verilmiştir:

Grev fiyatı 110 TL olan, şu anda 100 TL işlem yapan ve bir yılda sona eren bir ödeme opsiyonu varsayılmaktadır. Yıllık risksiz oran% 5'dir. Fiyatın, altı ayda bir% 20 artması ve% 15 düşmesi bekleniyor.

Sorunu yapılandıralım:

Burada, u = 1. 2 ve d = 0.85, X = 100, t = 0. 5

Yukarıdaki 999'un türev formülünü kullanarak, q = 0. olsun. 35802832

2 noktasında put opsiyonu değeri,

P

upup

durumunda, altta yatan = 100 olacak * 1. 2 * 1. 2 = 144 $ 'a P

upup

= sıfır

' e yükselme P

updn

durumunda, altta yatan = 100 * 1 olacaktır. 2 * 0. 85 = P $ p

dndn

durumunda, temel = 100 * 0 olur. 85 * 0. 85 = 72 dolar. 25, P

dndn

= $ 37'ye götürüyor. Benzer şekilde, p _{3 (p} 3 _{0 975309912 * (0 35802832 * 0 + (1-0. 35802832) * 8) > = 0 975309912 * (0 35802832 * 8 + (1-0. 35802832) * 37,75) = 26,42958924} Ve dolayısıyla put opsiyonu değeri, p

1 _{= 0. 975309912 * (0 35802832 * 5. 008970741+ (1-0. 35802832) * 26.42958924) =} $ 18. 29. _{Benzer şekilde, binomiyal modeller, seçenek süresinin tamamını daha da arıtılmış çoklu adımlara / seviyelere kırmasına izin verir. Bilgisayar programlarını veya e-tablolarını kullanarak istenen seçeneğin bugünkü değerini elde etmek için geriye doğru tek seferde bir adım geriye çalışabilir.} Şimdi, binom seçeneği değerlemesi için üç adım içeren bir örnek daha verelim:

9 TL'lik grev fiyatı ve 12 TL'lik mevcut fiyatla 10 ABD Doları olan Avrupa tipi bir ödeme seçeneği varsayalım. Tüm dönemler için risksiz oranı% 5 olarak varsayalım. Her üç ayda bir temel fiyatın% 20 yukarı veya aşağı doğru hareket edebileceğini varsayalım, bize u = 1 veriyor. 2, d = 0. 8, t = 0. 25 ve 3 adımlı binom ağacı. _{Kırmızı rakamlar temel fiyatlara işaret ederken, mavi olanlar put opsiyonunun getirisini göstermektedir.} Risk nötr olasılık q, 0 ile hesaplanır. 531446. _{Yukarıdaki q değerini ve t = 9 aydaki kazanma değerlerini kullanarak, t = 6 aydaki ilgili değerler şu şekilde hesaplanır:} Ayrıca, bunları kullanarak t = 6'da hesaplanan değerler, t = 3 ve sonra t = 0'daki değerler şunlardır:

Mevcut günkü değer olan 2 ABD doları verilir. 18, Black-Scholes modeli ($ 2.3) kullanılarak hesaplanana çok yakın olan _Sonuç Bilgisayar programlarının kullanılması bu yoğun hesaplamaların çoğunu kolaylaştırabilir, ancak gelecekteki fiyatların tahmini kalır seçenek fiyatlaması için binomiyal modellerin büyük bir sınırlaması. Zaman aralıkları ne kadar ince olursa, her bir dönemin sonunda kazancını kesin olarak tahmin etmek o kadar zor olur. Bununla birlikte, farklı zaman dilimlerinde beklendiği gibi değişiklikleri dahil etme esnekliği, erken egzersiz değerlemeleri de dahil olmak üzere Amerikan seçeneklerini fiyatlandırmaya uygun hale getiren ek bir artı. Binom modelini kullanarak hesaplanan değerler, seçenek fiyatlama için binom modellerinin kullanışlılığını ve doğruluğunu gösteren Black-Scholes gibi yaygın olarak kullanılan diğer modellerden hesaplanan değerleri yakından eşleştirir. Binom fiyatlama modelleri, bir tüccarın tercihine göre geliştirilebilir ve Black-Scholes'a alternatif olarak çalışır.